电动力学大纲

Posted at 2025-08-20 电动力学 

张量初步

数学记号

$$\delta_{ij}=\left\{ \begin{matrix} 0,i\ne j\\ 1,i=j \end{matrix}\right.\\ \epsilon_{ijk}=\left\{ \begin{matrix} 1,(123)偶置换\\ -1,(123)奇置换\\ 0, otherwise \end{matrix}\right.$$

叉乘$(\vec{f}\times\vec{g})_{i}=\epsilon_{ijk} f_j g_k$

一个有用的公式：$\epsilon_{ijk}\epsilon_{mnk}=\delta_{im}\delta_{jn}-\delta_{in}\delta_{jm}$

对称张量与反对称张量内积为0：$S_{ij}A_{ji}=0$

混合积：$\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})=\vec{c}\cdot (\vec{a}\times\vec{b})$

三叉乘：$\vec{a}\times (\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a} \cdot \vec{c} )\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$ (就远原则)

梯度算子

直角坐标系，$\nabla=\hat{x}_i\frac{\partial}{\partial x_i}=\hat{x}_i\partial_i$

标量场的梯度

矢量场的梯度旋度散度

张量场的梯度旋度散度

如$\nabla r=\hat r,\nabla \vec x=\overleftrightarrow{I},\nabla\cdot\vec x=3$

链式法则：$\nabla\varphi(t_r)=\dot{\varphi}\nabla t_r$

$\nabla\vec{A}(t_r)=(\nabla t_r)\vec{A}$（不能交换位置）

相对位矢

$\hat R=\vec x-\vec x'$（场点位置减去源点位置）

场积分的基本定理

梯度，散度（Gauss），旋度（Stokes）

亥姆霍兹定理

任意一个矢量场都可以分解为无源场和无旋场的叠加。

电磁场基本规律

电荷守恒

电荷、电流满足连续性方程：$\partial_t\rho+\nabla\cdot \vec{j}=0$

Lorentz力

$\vec F=e\vec E+e\vec v\times \vec B$

力密度（单位体积）：$\vec f=\rho\vec E+\rho\vec v\times \vec B$

Maxwell方程组

$\left \{\begin{array}{l} \nabla \cdot \mathbf{E} =\cfrac{\rho}{\varepsilon _0} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} = -\cfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t } \\ \nabla \times \mathbf{B} = \mu _0\mathbf{J} + \mu _0\varepsilon_0 \cfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t } \end{array} \right.$

\left \{\begin{array}{l} {\huge \unicode{8751}}_\mathbb{S} \mathbf{E} \cdot\mathrm{d}s= \cfrac{Q}{\varepsilon_0} \\ {\huge \unicode{8751}}_\mathbb{S} \mathbf{B} \cdot\mathrm{d}s= 0 \\ {\huge \oint}_{\mathbb{L}}^{} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}l=-\cfrac{\mathrm{d}\Phi _{\mathbf{B}}}{\mathrm{d}t } \\ {\huge \oint}_{\mathbb{L}}^{} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}l=\mu_0I+ \mu_0 \varepsilon_0\cfrac{\mathrm{d}\Phi _{\mathbf{E}}}{\mathrm{d}t } \end{array} \right.

证明电磁作用过程电荷守恒：$\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) = \nabla\cdot(\mu _0\mathbf{J} + \mu _0\varepsilon_0 \cfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t })=0$

再代入电场散度，就得到连续性方程。

而且两个关于时间的偏导数告诉我们，一旦源已知，初始的电磁场就决定了他的时间演化，并且这个演化的结果满足上面的两个散度方程

由微分方程给出边值关系

• 任意约定面的1、2两侧，并定义法向$\hat 𝑛$:1⟶2

• 将𝛻改写为$\hat n$，作用对象（场或源）$\vec{F}$改写为$\vec F_2-\vec{F}_1$；

• 删去场对时间的导数项；

• 源及其对时间的导数项均将其中的体密度改为面密度。

$$\left \{\begin{array}{l} \hat n\cdot(\vec E_2-\vec E_1)=\frac{\sigma}{\epsilon_0} \\ \hat n\times(\vec E_2-\vec E_1)=0 \\ \hat n\cdot(\vec B_2-\vec B_1)=0 \\ \hat n\times(\vec B_2-\vec B_1)=\mu_0 \vec K \end{array} \right.$$

介质中的Maxwell方程

$\left\{\begin{array}{l} \nabla \cdot \mathbf{D} =\rho _f \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} = -\cfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t } \\ \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \cfrac{\partial \mathbf{D}}{\partial t } \end{array} \right.$

$\vec D=\epsilon_0\vec E+\vec P,\vec B=\mu_0(\vec H+\vec M)$

$\nabla \cdot \vec P=-\rho', \vec J'=\vec J_M+\vec J_P=\nabla\times\vec M+\partial_t \vec P$

本构关系：$\vec D=\epsilon(\omega,x)\vec E,\vec B=\mu(\omega,x)\vec H$

简单导电介质：$\vec J_f=\sigma\vec E$

电磁势

$\vec B=\nabla\times\vec A,\vec E=-\nabla\varphi-\frac{\partial \vec A}{\partial t}$

规范变换：$\varphi'=\varphi-\partial_t \psi, \vec A'=\vec A+\nabla\psi$

Coulomb规范：$\nabla\cdot \vec A=0$

Lorenz规范：$\nabla\cdot \vec A+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0$

满足的方程为$\Box \varphi+\partial_t L=-\frac{\rho}{\epsilon_0},\Box\vec A-\nabla L=-\mu_0 \vec J$

电磁场的能量动量角动量

• 能量密度

$$w = \frac{1}{2}\left( \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right)$$

• Poynting 矢量（能流密度）

$$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}$$

• 微分形式（能量守恒，Poynting 定理）

$$\frac{\partial w}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = - \mathbf{J} \cdot \mathbf{E}$$

• 积分形式

$$\frac{d}{dt}\int_V w \, d^3x + \oint_{\partial V} \mathbf{S}\cdot d\mathbf{a} = - \int_V \mathbf{J}\cdot\mathbf{E}\, d^3x$$

---

• 动量密度

$$\mathbf{g} = \frac{\mathbf{S}}{c^2} = \epsilon_0 \mathbf{E} \times \mathbf{B}$$

• 动量流密度（应力张量 Maxwell stress tensor）

$$T_{ij} = \epsilon_0 \left( E_i E_j + c^2 B_i B_j - \frac{1}{2} (E^2 + c^2 B^2)\delta_{ij} \right)$$

• 微分形式（动量守恒）

$$\frac{\partial \mathbf{g}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{T} = - \rho \mathbf{E} - \mathbf{J} \times \mathbf{B}$$

• 积分形式

$$\frac{d}{dt} \int_V \mathbf{g}\, d^3x + \oint_{\partial V} \mathbf{T} \cdot d\mathbf{a} = - \int_V \left( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J}\times \mathbf{B} \right) d^3x$$

---

• 角动量密度

$$\mathbf{l} = \mathbf{r} \times \mathbf{g}$$

• 角动量流密度（张量形式）

$$M_{ij} = \epsilon_{ikl} r_k T_{lj}$$

• 微分形式（角动量守恒）

$$\frac{\partial \mathbf{l}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{M} = - \mathbf{r} \times \left( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} \right)$$

• 积分形式

$$\frac{d}{dt} \int_V \mathbf{l}\, d^3x + \oint_{\partial V} \mathbf{M} \cdot d\mathbf{a} = - \int_V \mathbf{r} \times \left( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J}\times \mathbf{B} \right) d^3x$$

静电场

基本方程

$\nabla\cdot\vec E=\frac{\rho}{\epsilon_0},\nabla\times \vec E=0$

用标势来写：$\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}$，即Possion方程，$\rho=0$时为Laplace方程

导体的边界条件：$\hat n\cdot\vec E=\frac{\sigma}{\epsilon_0},\hat n\times \vec E=0$

静电能

$w=\frac{1}{2}\vec D\cdot \vec E$

。。。

多级展开

前置知识：

Taylor展开：

$$f(\vec x+\vec\epsilon)=(1+\vec \epsilon \cdot\nabla+\frac{1}{2}(\vec \epsilon\cdot \nabla)^2+..)f(\vec x)\\ =e^{\vec \epsilon\cdot\nabla}f(\vec x)$$

已知局域电荷的分布，我们关注远场的行为

$$\varphi=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{dq}{\R}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho(\vec x')dV}{\R}$$

接下来就是把$\frac{1}{\R}$展开，

$$\frac{1}{\R}=\frac{1}{|\vec x-\vec x'|}=e^{-\vec x'\cdot \nabla}\frac{1}{r}$$

$$\varphi \approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{Q}{r}-\vec p\cdot\nabla\frac{1}{r}+\frac{1}{6}\overleftrightarrow D :\nabla\nabla\frac{1}{r})$$

分离变量

Green函数